{VERSION 3 0 "IBM INTEL NT" "3.0" }
{USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 
1 0 0 0 0 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 
0 }{CSTYLE "2D Comment" 2 18 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }
{CSTYLE "" -1 256 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" 
-1 257 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 258 "" 0 1 0 0 
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-1 261 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 262 "Times" 0 
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{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Heading 1" 0 3 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }1 0 0 0 8 4 0 0 0 
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{CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 
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{PSTYLE "R3 Font 0" -1 259 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Helvetica" 0 12 170 8 
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260 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 
-1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 261 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }}
{SECT 0 {PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 76 "Universit\351 du Littoral, C
\364te d'Opale, 2014-2015.\nL1 Info, S2, Calcul Formel." }}{PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 260 "" 0 
"" {TEXT 256 27 "S\351ance 7: Nombres premiers." }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 256 "" 0 
"" {TEXT -1 78 "S\351quence A  SUITE  : Crible d'\311ratosth\350ne et \+
r\351partition des nombres premiers." }{MPLTEXT 1 0 2 "\n\n" }}}{PARA 
0 "" 0 "" {TEXT 257 37 "Programmation du crible d'Erathost\350ne" }
{TEXT -1 63 " : Nous avons programm\351 lors de la derni\350re s\351an
ce le crible d'" }{TEXT 256 183 "Erathost\350ne qui permet d'obtenir u
ne liste des nombres premiers jusque un entier donn\351 M. Rappelons-e
n une programmation possible (\340 ne retaper que si vous n'avez pas s
auvegard\351 votre" }{TEXT 266 1 " " }{TEXT 262 10 "travail!)." }}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 322 "restart;M:=100:\nT:=array(1
..M):\nfor i from 1 to M do T[i]:=1; od:\nT[1]:=0:\nfor k from 2 to ev
alf(floor(sqrt(M))) do \n  for i from 2 to evalf(M/k) do\n    T[k*i]:=
0;\nod;od:\nlp:=[]:\nfor i from 1 to M do \n   if(T[i]=1)then        \+
\n      lp:=[op(lp),i];\n   fi;\nod:\nprintf(\"les nombres premiers ju
sque %d sont :\\n  %a\", M ,lp);\n" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }
}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 256 32 "R\351partition d
es nombres premiers" }}}{PARA 261 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 7 "Notons " }{XPPEDIT 18 0 "Pi(x);" "6#-%#PiG6#%\"xG" }
{TEXT -1 44 " le nombre de nombres premiers inf\351rieurs \340 " }
{XPPEDIT 18 0 "x;" "6#%\"xG" }{TEXT -1 52 ".  Par exemple, nous venons
 d'obtenir ci-dessus que " }{XPPEDIT 18 0 "Pi(100) = 25;" "6#/-%#PiG6#
\"$+\"\"#D" }{TEXT -1 12 " car il y a " }{XPPEDIT 18 0 "25;" "6#\"#D" 
}{TEXT -1 25 " nombres premiers jusque " }{XPPEDIT 18 0 "100;" "6#\"$+
\"" }{TEXT -1 2 ". " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "
" {TEXT 258 11 "Travail 1 :" }{TEXT -1 40 " Refaire tourner le crible \+
pour obtenir " }{XPPEDIT 18 0 "Pi(1000);" "6#-%#PiG6#\"%+5" }{TEXT -1 
4 " et " }{XPPEDIT 18 0 "Pi(10000);" "6#-%#PiG6#\"&++\"" }{TEXT -1 30 
" (utiliser la commande nops). " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 91 " Euclide a d\351montr\351 qu'il existe un
e infinit\351 de nombres premiers. Ceci revient \340 dire que " }
{XPPEDIT 18 0 "limit(Pi(x),x = infinity);" "6#-%&limitG6$-%#PiG6#%\"xG
/F)%)infinityG" }{TEXT -1 2 "=+" }{XPPEDIT 18 0 "infinity;" "6#%)infin
ityG" }{TEXT -1 55 ". Il donne un proc\351d\351 de construction qui, \+
\340 partir de " }{XPPEDIT 18 0 "n;" "6#%\"nG" }{TEXT -1 63 "  nombres
 premiers, donne un nombre premier plus grand que ces " }{XPPEDIT 18 
0 "n;" "6#%\"nG" }{TEXT -1 121 " nombres. En it\351rant ce proc\351d
\351, on est donc capable de donner un nombre premier toujours plus gr
and que les pr\351c\351dents. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 37 "   Le pro
c\351d\351 est tr\350s simple : Soit " }{XPPEDIT 18 0 "p[1],p[2];" "6$
&%\"pG6#\"\"\"&F$6#\"\"#" }{TEXT -1 5 ",...," }{XPPEDIT 18 0 "p[n];" "
6#&%\"pG6#%\"nG" }{TEXT -1 3 " , " }{XPPEDIT 18 0 "n;" "6#%\"nG" }
{TEXT -1 35 " nombres premiers cons\351cutifs avec " }{XPPEDIT 18 0 "p
[1] = 2;" "6#/&%\"pG6#\"\"\"\"\"#" }{TEXT -1 26 "; consid\351rons le n
ombre X=" }{XPPEDIT 18 0 "p[1]*p[2];" "6#*&&%\"pG6#\"\"\"\"\"\"&F%6#\"
\"#F(" }{TEXT -1 4 "...." }{XPPEDIT 18 0 "p[n]+1;" "6#,&&%\"pG6#%\"nG
\"\"\"\"\"\"F(" }{TEXT -1 80 ". Soit X est premier et donc nous avons \+
trouv\351 un nombre premier plus grand que " }{XPPEDIT 18 0 "p[n];" "6
#&%\"pG6#%\"nG" }{TEXT -1 105 ", soit il n'est pas premier et il est f
acile de constater qu'il admet un diviseur premier plus grand que " }
{XPPEDIT 18 0 "p[n];" "6#&%\"pG6#%\"nG" }{TEXT -1 30 ". Prenons quelqu
es exemples : " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 49 "i : Existe-t-il un nombre premier plus grand que " }
{XPPEDIT 18 0 "2;" "6#\"\"#" }{TEXT -1 4 " et " }{XPPEDIT 18 0 "3;" "6
#\"\"$" }{TEXT -1 11 "? On prend " }{XPPEDIT 18 0 "X = 2;" "6#/%\"XG\"
\"#" }{TEXT -1 5 ".3+1=" }{XPPEDIT 18 0 "7;" "6#\"\"(" }{TEXT -1 38 ";
 X est premier et est plus grand que " }{XPPEDIT 18 0 "2;" "6#\"\"#" }
{TEXT -1 4 " et " }{XPPEDIT 18 0 "3;" "6#\"\"$" }{TEXT -1 1 "." }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 50 "ii : Exis
te-t-il un nombre premier plus grand que " }{XPPEDIT 18 0 "2;" "6#\"\"
#" }{TEXT -1 2 ", " }{XPPEDIT 18 0 "3;" "6#\"\"$" }{TEXT -1 1 "," }
{XPPEDIT 18 0 "5;" "6#\"\"&" }{TEXT -1 2 ", " }{XPPEDIT 18 0 "7;" "6#
\"\"(" }{TEXT -1 2 ", " }{XPPEDIT 18 0 "11;" "6#\"#6" }{TEXT -1 11 "? \+
On prend " }{XPPEDIT 18 0 "X = 2;" "6#/%\"XG\"\"#" }{TEXT -1 12 ".3.5.
7.11+1=" }{XPPEDIT 18 0 "2311;" "6#\"%6B" }{TEXT -1 38 "; X est premie
r et est plus grand que " }{XPPEDIT 18 0 "2;" "6#\"\"#" }{TEXT -1 2 ",
 " }{XPPEDIT 18 0 "3;" "6#\"\"$" }{TEXT -1 9 ",5,7,11. " }}{PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 56 "iii : Continuons jus
que 13, et on trouve ci-dessous que " }{XPPEDIT 18 0 "X;" "6#%\"XG" }
{TEXT -1 21 " admet pour facteurs " }{XPPEDIT 18 0 "59;" "6#\"#f" }
{TEXT -1 4 " et " }{XPPEDIT 18 0 "509;" "6#\"$4&" }{TEXT -1 46 " qui s
ont bien plus grands que 2,3,5,7,11,13. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "ifactor(2*3*5*7*11*13
+1);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 259 11 
"Travail 2 :" }{TEXT -1 43 " D\351montrer que les diviseurs premiers d
e X=" }{XPPEDIT 18 0 "p[1]*p[2];" "6#*&&%\"pG6#\"\"\"\"\"\"&F%6#\"\"#F
(" }{TEXT -1 4 "...." }{XPPEDIT 18 0 "p[n]+1;" "6#,&&%\"pG6#%\"nG\"\"
\"\"\"\"F(" }{TEXT -1 21 " sont plus grand que " }{XPPEDIT 18 0 "p[n];
" "6#&%\"pG6#%\"nG" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 119 "Une fois obtenue une preuve de ce r\351s
ultat, on obtient une preuve par l'absurde de l'infinitude des nombres
 premiers : " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 38 "Supposons qu'il existe un nombre fini " }{XPPEDIT 18 0 "N;" "6#
%\"NG" }{TEXT -1 27 " de nombres premiers not\351s " }{XPPEDIT 18 0 "p
[1],p[2];" "6$&%\"pG6#\"\"\"&F$6#\"\"#" }{TEXT -1 5 ",...," }{XPPEDIT 
18 0 "p[N];" "6#&%\"pG6#%\"NG" }{TEXT -1 40 ". Alors, un des diviseurs
 premiers de X=" }{XPPEDIT 18 0 "p[1]*p[2];" "6#*&&%\"pG6#\"\"\"\"\"\"
&F%6#\"\"#F(" }{TEXT -1 4 "...." }{XPPEDIT 18 0 "p[N]+1;" "6#,&&%\"pG6
#%\"NG\"\"\"\"\"\"F(" }{TEXT -1 20 " est plus grand que " }{XPPEDIT 
18 0 "p[N];" "6#&%\"pG6#%\"NG" }{TEXT -1 31 " et c'est impossible car \+
c'est " }{XPPEDIT 18 0 "p[N];" "6#&%\"pG6#%\"NG" }{TEXT -1 104 " est l
e plus grand des nombres premiers! C'est absurde, il existe donc une i
nfinit\351 de nombres premiers." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 131 "Le th\351or\350me des nombres premiers d
\351montr\351 par Hadamard et par de la Vall\351e Poussin en 1896 (
\340 quatre mois d'intervalle) \351nonce que " }{XPPEDIT 18 0 "Pi(x);
" "6#-%#PiG6#%\"xG" }{TEXT -1 20 " est \351quivalent  \340  " }
{XPPEDIT 18 0 "x/log(x);" "6#*&%\"xG\"\"\"-%$logG6#F$!\"\"" }{TEXT -1 
7 " quand " }{XPPEDIT 18 0 "x;" "6#%\"xG" }{TEXT -1 38 " tend vers l'i
nfini. C'est \340 dire que " }{XPPEDIT 18 0 "Limit(Pi(x)/(x/log(x)),x \+
= infinity) = 1;" "6#/-%&LimitG6$*&-%#PiG6#%\"xG\"\"\"*&F+F,-%$logG6#F
+!\"\"F1/F+%)infinityG\"\"\"" }{TEXT -1 2 ". " }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 108 "(Remarque : pour Maple le logarithme n\351p\351rien s'
\351crit log, il s'agit donc ci-dessus du logarithme n\351p\351rien).
" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 261 11 "Travail 3 :" }{TEXT -1 95 "  En appliqua
nt ce th\351or\350me, donner une \351valuation du nombre de  nombres p
remiers inf\351rieurs \340 " }{XPPEDIT 18 0 "10^n;" "6#)\"#5%\"nG" }
{TEXT -1 177 " ? Par exemple, approximer avec le th\351or\350me le nom
bre de nombres premiers plus petit que mille, dix mille, un milliard. \+
Comparer pour 1000 et 10000 ce que vous avez obtenu dans " }{TEXT 260 
9 "Travail 1" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 
0 "" 0 "" {TEXT -1 62 "\n\n\n\n\nReprenons notre programmation : On pe
ut pour tout entier " }{XPPEDIT 18 0 "n;" "6#%\"nG" }{TEXT -1 13 " inf
\351rieur \340 " }{XPPEDIT 18 0 "M;" "6#%\"MG" }{TEXT -1 11 ", calcule
r " }{XPPEDIT 18 0 "Pi(n);" "6#-%#PiG6#%\"nG" }{TEXT -1 51 ", en somma
nt toutes les valeurs de T[i], ceci pour " }{XPPEDIT 18 0 "i;" "6#%\"i
G" }{TEXT -1 11 " allant de " }{XPPEDIT 18 0 "1;" "6#\"\"\"" }{TEXT 
-1 3 " \340 " }{XPPEDIT 18 0 "n;" "6#%\"nG" }{TEXT -1 27 ". En effet, \+
T[i] vaut 0 si " }{XPPEDIT 18 0 "i;" "6#%\"iG" }{TEXT -1 60 "  n'est p
as premier et chaque nombre premier contribue pour " }{XPPEDIT 18 0 "1
;" "6#\"\"\"" }{TEXT -1 16 "  dans la somme." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 256 12 "Travail 4 : " }
{TEXT -1 108 "D\351clarer un tableau bb et placer \340  la i-\350me pl
ace et \340 l'aide d'une seule boucle sur l'entier i, la valeur " }
{XPPEDIT 18 0 "Pi(i);" "6#-%#PiG6#%\"iG" }{TEXT -1 15 ". V\351rifier q
ue " }{XPPEDIT 18 0 "Pi(100) = bb;" "6#/-%#PiG6#\"$+\"%#bbG" }{TEXT 
-1 14 "[100] vaut 25." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 
"" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 256 12 "Travail 5 : " }{TEXT -1 141 "Tracer le
 graphe obtenu en tra\347ant les points [i,bb[i]] pour i allant de 1 \+
\340 M. Ajouter au graphe pr\351c\351dent celui de la fonction d\351fi
nie par " }{XPPEDIT 18 0 "f(x) = x/log(x);" "6#/-%\"fG6#%\"xG*&F'\"\"
\"-%$logG6#F'!\"\"" }{TEXT -1 112 ".  Sauver votre travail et refaire \+
tourner avec des valeurs de M de plus en plus grandes, mais pas trop g
randes!" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
0 "" }}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 39 "Conjecture des nombres pre
miers jumeaux" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 72 "Un nombre premier jumeau
 est un couple de nombres premiers  de la forme " }{XPPEDIT 18 0 "p;" 
"6#%\"pG" }{TEXT -1 4 " et " }{XPPEDIT 18 0 "p+2;" "6#,&%\"pG\"\"\"\"
\"#F%" }{TEXT -1 194 ". On conjecture qu'il en existe une infinit\351 \+
et bien que la recherche fasse de gros progr\350s actuellement sur ce \+
sujet, les math\351maticiens sont toujours incapables de d\351montrer \+
cette conjecture. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT 263 8 "Travail " }{TEXT 256 2 "7 " }{TEXT -1 101 ": Ecrire une b
oucle qui compte \340 partir de la liste lp, le nombre de nombres prem
iers jumeaux jusque " }{XPPEDIT 18 0 "M;" "6#%\"MG" }{TEXT -1 1 "." }}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 108 "jum:=[]:\nfor i from 2 to n
ops(lp)-1 do\nif(lp[i+1]-lp[i]=2)then\njum:=[op(jum),[lp[i],lp[i+1]]];
\nfi;\nod:\njum; " }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "
" {TEXT -1 0 "" }}}{MARK "41 0" 3 }{VIEWOPTS 1 0 0 1 1 1803 }