Problèmes des travaux pratiques
en méthodes numériques et mécanique quantique

Maîtrise de physique, Université du Littoral, Dunkerque

Enseignants: Dmitrií Sadovskií

Les étudiants se répartissent en groupes de deux personnes. Chaque groupe aborde le problème commun avec une méthode spécifique. On commence par une présentation théorique, un mini-colloque avec Dmitrií Sadovskií et Boris Zhilinskií, où chaque groupe aura 10 minutes pour explique son problème et surtout les méthodes de solution. Auprès on travaille individuellement en utilisant les moyennes informatiques. Pendent cet étape on peut contacter le responsable de modul. On presente les résultat en forme d'un petit rapport fait par chaque groupe.

Il faut utiliser les idées vues en cours de Mécanique Quantique de maîtrise avec Boris Zhilinskií et en TD avec Dmitrií Sadovskií.

Les notes sur se module sont annocées ensemble avec celles de mécanique quantique et physique atomique.

Ces problèmes sont developpés avec participation de Christophe Van-Hecke.

  • Problèmes à une dimension
  • Méthode de propagation de paquets d'ondes
  • Méthode variationnelle
  • Méthode semi-classique
  • Méthode des perturbations
  • Problèmes à deux dimensions
  • Problèmes sur rotateur et interactions
  • Les énergies de rotation d'une toupie asymmetrique nonrigide

    • Problèmes à une dimension

    L'idée générale du module est d'obtenir le maximum des informations sur le système physique suivant: une particule de masse m soumise au potentiel

    avec le paramètre α petit (par rapport à k).

    Un premier travail (collectif) doit permettre décrire les caractéristiques générales du système: structure du spectre d'énergie, comportement du système avec l'ordre de grandeur des paramètres (cas limites)... .

    Méthode de propagation de paquets d'ondes

    Dans un second temps, le projet consiste en la résolution numérique de l'équation de Schroedinger dépendante du temps pour la particule soumise au potentiel à une dimension décrit ci-dessus. La méthode de résolution proposée est celle de l'opérateur d'évolution symétrisé. Cette méthode est présentée dans la référence suivante:

    M. D. Feit, J. A. Fleck et A. Steiger, J. Comp. Phys. 47 (1982), 412-433.

    L'élaboration de l'algoritme de propagation à partir de ce document fait partie intégrante du projet.

    Suggestions pour la partie précédent le calcul:

    Méthode variationnelle

    A l'aide de cette méthode, il est demandé d'évaluer les cinquante premiers niveaux d'énergie du système. Les fonctions qui serviront au calcul variationnelseront choisies dans la base de fonctions de l'oscillateur harmonique.

    Méthode semi-classique

    Le projet consiste à calculer pour différentes énergies l'intégrale d'action du système. Puis, celle-ci étant connue pour la gamme d'énergies intéressantes (par exemple celle couvrant les cinquante premiers niveaux), on invoquera le postulat de quantification de Born-Sommerfeld pour déterminer la position desdits niveaux dénergie.

    Méthode des perturbations

    Lorsque le paramètre a du potentiel est petit, la partie peut être considérée comme une perturbation de l'oscillateur harmonique associé aux paramètres m et k. En utilisant la théorie des perturbations stationnaires, il est demandé de calculer les cinquante premiers niveaux d'énergie. En option (vivement recommandée), il est possible d'évaluer les fonctions d'onde correspondantes.

    Problèmes à deux dimensions

    Considérons l'hamiltonien pour le problème de Henon-Heiles, un oscillateur à 2D dégénéré 1:1 avec un potentiel cubique de symétrie C3, H = 1 2 (px2 + qx2) + 1 2 (py2 + qy2) + ε( 1 3 qx3 - qx qy2 ) .

    Problèmes sur rotateur et interactions

    Ces problèmes sont posés autour le Hamiltonien rotationnel-vibrationnel moleculaire.

    Les énergies de rotation d'une toupie asymmetrique nonrigide

    Considerez une molécule du type BAB:
    Son Hamiltonien classique rotationnel est tandis que son Hamiltonien quantique effectif peut être représente sous forme suivante

    Données sur les molécules de type BAB: distance AB à l'équilibre, angle BAB à l'équilibre et au point critique, fréquences harmoniques de trois modes de vibration, valeur critique de moment angulaire [I.M.Pavlichenkov, Phys. Rep. 226 173-279 (1993)]
    molécule
    0.96 104 87 3657 1595 3756 26
    0.97 104 84 2672 1178 2788 44
    1.52 93 88 2032 1008 2022 18
    1.34 92 88 2615 1183 2628 15
    1.34 92 87 1910 858 1922 26
    1.46 91 89 2345 1034 2358 9

    Dmitrií Sadovskií (sadovski@pca3.univ-littoral.fr) October 13, 1998